黎曼函数是连续函数吗？以下函数称为黎曼函数:R(x)0，黎曼ζ函数。在高等数学中，函数是连续的，一个函数在一点上是连续的，在b]上，黎曼可积函数必有连续点，既然f(x)是这个结论的证明，那你一定看到了，结论是这样的，你觉得矛盾是直觉上不能接受的。虽然在这个区间内有理点密集，但是有理点的值可以很小(大小只是相对的)，事实上，给定任何小于1的数，都有有限个有理点可以大于这个数，给定任何小于1的数，可以在这个区间的任何子区间中找到一个更小的子区间，在这个小的子区间上，虽然有一个有理数，但是有理点的函数值可以小于给定的数。
这样，在任意一个无理点的邻域内，虽然有无穷多个有理点，但大值不多(给定一个小于1的数，只有有限个有理点能大于这个数)，其余无穷多个有理点的函数值都很小，几乎等于0。所以，在不合理的点上继续下去是很正常的。有理点在任何地方都是不连续的，因为对于一个固定的有理点，它的函数值是确定的，在任何邻域内总有不合理的点。有无穷多个有理点的函数值比这个点的函数值小，所以和附近的函数值差别很大。
函数在某一点上是连续的，所以它在这一点上一定是有界的，因为如果它是无界的，这一点就是它的无限不连续点，与连续性相矛盾；反之，有界不一定是连续的，比如跳跃不连续；如果函数在某点连续，则左右极限在该点存在，且等于该点的函数值，所以如果连续，则极限存在；反之，极限的存在不一定等于函数值，即不一定连续；函数在某一点有界，但极限不一定存在，比如振荡不连续；如果一个函数在某一点有极限，那它一定是有界的，因为无界的话，极限最多是无穷大，此时极限不存在。
函数在某一点的连续也必然意味着函数在该点附近的任何定义的向心邻域内有界，反之亦然，即有界不一定连续。如果一个函数在一个区间上是连续的，那么它在这个区间上一定是可积的，但反过来就不一定了。比如著名的黎曼函数，就没听说过这个定理。实际上，人们也人为地设置了一个函数，它只在一点上连续(符合在这一点上连续的定义)，在其他任何一点上不连续。所以这个想法是错误的，当然也不可能是定理。首先说一下狄利克雷函数，定义为D(x)1(x是有理数)；0(x为无理数)，即当X为有理数时，函数值为1，当X为无理数时，函数值为0。显然，这个函数处处不连续，但它是一个有界函数。
既然f(x)在宇宙能量密度和黎曼ζ函数中，台师大物理系林文龙，邮箱:wenlinpy03.phy.ntnu.edu.tw摘要宇宙的演化是由宇宙能量密度决定的。当我们计算相对论粒子的能量密度时，黎曼ζ函数总会出现，它的值通常是从查表中得知的。对黎曼ζ函数理解不深，对结果没有感觉。其实宇宙能量密度的推导过程非常适合大四学生和物理系研究生课后自主学习。
包括无穷级数、黎曼ζ函数、傅立叶级数、复变函数、伯努利数、解析数论和混沌理论等。本文简述其推导过程，以供参考。第一，当今宇宙的辐射(即相对论粒子)由2.728K宇宙背景光子和3代1.946K中微子组成。在热平衡的早期宇宙中，除了光子和中微子之外，还有大量的其他相对论粒子。
D(x)1，x有理数；D(x)0，x是无理数。显然，对于任意一个x，我们可以找到一个有理点序列xk和一个无理数点序列yk，它们都趋向于这个点。对应函数值的极限分别是1和0，所以极限不存在，更不连续。R(p/q)1/q，r(无理点)0。只要证明对于任意A，当X趋于A时，存在limR(x)0，则函数在无理点的极限值是连续的；在有理点处，函数值不等于极限值，是不连续的。
4、黎曼函数是不是连续函数以下函数称为黎曼函数:R(x)0，若x0，1或(0，1)内的无理数；R(x)1/q，若xp/q(p/q约为真分数)，即X为(0，1)以内的有理数；这个函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现，在高等数学中有着广泛的应用。在很多情况下，它可以作为反例来验证某些函数中的一些待证命题。